纳什均衡理论公式讲解（博弈论-纳什均衡）

“纳什均衡”的概念来自纳什的两篇论文《n人博弈中的均衡点》和《非合作博弈》，纳什在论文中介绍了合作性博弈与非合作性博弈的区别，并给出了“纳什均衡”的定义。

“纳什均衡”，简单地说就是多人参加的博弈中，每个人根据他人的策略制定自己的最优策略。所有人的这些策略组成一个策略组合，在这个策略组合中，没有人会主动改变自己的策略，那样会降低他的收益。只要没有人做出策略调整，任何一个理性的参与者都不会主动改变自己的策略。这个时候，所有参与者的策略便达成了一种平衡，这种平衡便是“纳什均衡”。

博弈论是应用数学的分支，因此最严谨的“纳什均衡”表达方式需要用数学公式。用数学方式表达的“纳什均衡”的定义：在博弈G={S1，……，Sn：u1，……，un}中，如果由各个博弈方的各个策略组成的某个策论组合（s1*，……，sn*）中，任一博弈方i的策论si*，都是对其余博弈方策略的组合（s1*，……s*i-1，……s*i+1……，……，sn*）的最佳对策，也即ui（s1*，……s*i-1，si*，s*i+1，……，sn*）≥ui（s1*，……s*i-1，sij*，s*i+1，……，sn*）对任意sij∈Si都成立，则称（s1*，……，sn*）为G的一个“纳什均衡”。

如果你的数学不够好，这串数学表达式让你阅读起来有难度的话，请不要担心，本书中主要的表达方式是语言描述加上通俗易懂的表格，此处引用数学表达式，只为严谨。

“纳什均衡”主要用来研究非合作博弈中的均衡，因此也被称为非合作博弈均衡。“纳什均衡”的一个特别之处在于通俗易懂，有人把“纳什均衡”比喻成锅里的乒乓球。如果你把几个乒乓球放到锅里，它们便会向锅底滚去，并在锅底相互碰撞，最后停住不动的时候便达成了一种平衡，这个时候如果动了其中的一个，其他乒乓球便会受影响，如果想要保持住这种平衡，就不能动其中任何一个乒乓球，一直保持下去。这个比喻中，乒乓球代表各参与者的策略，乒乓球最后停留在锅底形成的平衡便是“纳什均衡”。

根据“纳什均衡”的定义我们可以知道，一场博弈中并不一定只有一个“纳什均衡”，但是均衡之间有好坏之分。比如“囚徒困境”中，两名囚犯同时选择不坦白，得到的均衡便是好的均衡。同时选择坦白，得到的均衡便是坏的均衡。好均衡的结果是双方受益，坏均衡的结果是双方亏损，或者受益没有好均衡那样多。“纳什均衡”中各方策略的制定都是对对方策略的最佳反应，以为自己争取最大利益为目的，好均衡与坏均衡都是如此。

好均衡与坏均衡之间有时候可以转换

亚当·斯密是西方现代经济学的创立人，被称为“现代经济学之父”。他的传世经典《国富论》，更是西方经济学的根本，在西方经济学中，他的地位就像耶稣一样，不可动摇。但是纳什却指出了他的一个错误，从传统意义上来说，他动摇了亚当·斯密建立的西方经济学的基础，引发了经济学中的一次革命。

亚当·斯密认为每个人做出对自己有利选择的时候，对这个社会也最有利。他多次在自己的著作中提到这一点。

他在《国民财富的性质和原因的研究》中说：“当每个人都在追求自己私利的时候，市场这只看不见的手就会发挥出最佳的效果，社会将得到最大的收益。”

他在《国富论》中说道：“我们餐桌上的牛肉、啤酒和面包并不是屠夫、啤酒酿造者和面包店老板发善心，白白送给我们的，推动他们这样做的是对利益的追求，若是每个人只追求自己的利益和安全，在这个追求过程中就会自然而然地给别人带来利益，由此带来的社会利益，比他们专门去提升社会利益还要来得有效。”

他认为追求自己利益最大化的同时会给社会带来收益，通俗一点说就是每个人把自己的事情做好了，社会便好了。这句话听上去似乎有道理，也被大家接受了很多年，但它是错误的，这个错误多年以后被纳什发现了。

我们来看一下亚当·斯密错在了哪里，纳什又是如何纠正这个问题的。在拔河比赛中，每一名队员都使出最大的力气，整支队伍便会发挥出最好的成绩。在这里，每个人为自己谋取最大的利益，便会得到最大的整体利益，正符合亚当·斯密的理论。但是现实社会中情况远比拔河复杂，拔河的时候同一支队伍中的人都是朝着一个方向努力，不存在博弈问题，而现实生活中的人们不是如此。他们虽然有着共同的目标，却是朝着不同方向用力。因此，并不是每个人的个体利益相加便会得到社会总体的整体利益。

“纳什均衡”需要考虑博弈中每一个参与者的决策，但是并不意味着每一个人都选择对自己最优的决策便能得到最好的结果。比如“囚徒博弈”中，每个人最希望得到的结果便是自己坦白，同伙不坦白，那样他们就可以被当即释放。但是两个人如果都这样想，便都会选择坦白，得到的结果是（8，8），每人坐牢8年。这并不是对于两人来说最好的结局，最好的结局是两人都不坦白，每人坐1年牢。

“纳什均衡”提出之前，没有人怀疑亚当·斯密，人们认为只要提供和保障一个良好的市场机制，保障参与其中的人们能公平竞争，社会利益自然会增大。当时社会经济的重点是建立和保障有一个公平的机制。但“纳什均衡”告诉大家，每一个人都是理性的，得到的结果未必就是理性的。以纳什为原型拍摄的电影《美丽心灵》中有一个故事，可以很好地阐释个人理性与集体理性之间的关系。

纳什同3个朋友在一家酒吧里喝酒，此时进来了5位漂亮的姑娘，其中一位比其他4位要漂亮一点。纳什与3个朋友想邀请对方跳舞，这个时候他们有几个策略可以选择：

第一种，按照亚当·斯密的理论，也是我们常人最理性的方式，会先去邀请最漂亮的那位小姐跳舞，如果得不到最漂亮的，再退而求其次，邀请其他人。这是一种相对于个人而言最优的策略，也是一种理性的策略。但是每个人都这样做的话，得到的结果是否会与亚当·斯密所说的一样，是一种最大化的集体利益呢？

纳什否认了这种策略，他分析道：若是每个人追求自己最大化的利益，都去邀请那位最漂亮的小姐，结果只能是4个男人互相掐架，结果谁也邀请不到。等他们退而求其次再去找其他姑娘的时候，另外4位姑娘会觉得自己是别人的第二选择，是别人的替代品，因此拒绝他们的邀请，这样一来，4位男士最终将一无所获。

纳什找出了这其中的“纳什均衡”，提出了自己的策略：每个人都不去邀请那位最漂亮的姑娘，而是邀请另外4位姑娘，这样每个人都可以得到一个舞伴，彼此之间又不会起冲突。

在这场邀请舞伴的博弈中，若是每个人都是理性的，那他们将一无所获；而若是每个人都根据对手的策略制定好自己的策略，找到一个策略间的均衡时，那么大家就会各有所获。归根结底，亚当·斯密将社会总利益认为是所有个体利益之和，而纳什考虑了这些个体利益之间可能是矛盾的，他认为想得到最大化的社会利益，需要在所有个体利益之间找到一种均衡，当个体利益处于这样一种均衡状态时，得到的总体利益会是最大的。事实表明，纳什是对的。

“纳什均衡”给了我们一个启示：个体的最优决策不一定能带来最大化的社会利益，唯有找出这些决策之间的均衡才可以做到。